[게임수학] 8-1. 오일러 각(Euler's angle)

→ 이 글은 「이득우의 게임 수학」을 바탕으로 작성했습니다.

 

■ 3차원 공간

우리는 앞서 두 기저축$(x, y)$를 사용해서 2차원 평면 공간을 표현했다. 이제 3차원 공간을 표현하기 위해 새로운 축을 추가해야 하는데, 이를 어떻게 설정하느냐에 따라 공간의 체계가 달라진다.

[3차원 좌표계 구성]

• 나머지 한 축이 모니터가 바라보는 방향과 일치하는 체계를 오른손 좌표계(Right-handed coordinate system)이라 한다.
• 반대로 모니터 뒤편을 향하는 체계를 왼손 좌표계(Left-handed coordinate system)라 한다.

[소프트웨어의 좌표계 시스템]

소프트웨어마다 사용하는 좌표계는 모두 다르다. 하지만 모두 직교 좌표계를 기반으로 하고, 서로 다른 건 단순히 어느 축을 Up/Forward로 쓰는지와 왼손/오른손 규칙 차이이다.

 

여기서는 z가 모니터와 같은 방향을 바라보는 오른손 좌표계를 기준으로 설명하겠다.

 

■ 3차원 트랜스폼

2차원 공간에서 이동 변환을 선형 변환으로 표현하기 위해 3차원 공간을 사용했듯이, 3차원 공간에서도 한 차원 더 늘어난 4차원 공간을 사용한다.

$$ S = \begin{bmatrix}s_1&0&0&0 \\ 0&s_2&0&0 \\ 0&0&s_3&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$

[3차원 공간의 크기 변환 행렬]

$$ T = \begin{bmatrix}1&0&0&t_x \\ 0&1&0&t_y \\ 0&0&1&t_z \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} $$

[3차원 공간의 이동 변환 행렬]

크기와 이동 변환행렬은 기존 2차원 행렬에서 한 차원이 더 늘어난 형태이며 위와 같이 설계할 수 있다.

 

회전 변환의 경우 강체 변환(변환 후에도 크기와 모양을 유지)인데, 그러기 위해선 세 표준기저벡터가 동일한 크기와 직교성을 유지한 채 함께 움직여야 한다.

[세 축의 기저벡터로 만들어지는 회전행렬]

세 표준기저벡터값을 알 수 있다면 이를 열벡터로 만들어 회전 변환행렬$(R)$을 만들 수 있지만, 매번 3개의 변화된 표준기저값을 계산해야 한다.

 

따라서 회전을 지정할 땐, 회전하는 중심축과 각으로 표현된 회전량을 지정하는 방식을 사용했는데 3차원 공간은 무수히 많은 평면으로 구성되기 때문에 새로운 방식이 필요하다.

 

■ 오일러 각(Euler’s angle)

[오일러 각을 사용한 3차원 회전의 저장]

오일러 각은 3차원 공간에서 물체가 놓인 방향을 3개의 각을 사용해 표시하는 방법이다.

$$ (\theta_x, \theta_y, \theta_z) $$

표준기저벡터를 중심으로 회전하는 각의 크기로 지정되는데, 각 각의 값은 실수이기 때문에 3차원 벡터로 표현할 수 있다.

[요, 롤, 피치 회전]

하지만 소프트웨어마다 축이 다 다르기 때문에, 회전의 움직임으로 회전 동작을 요(Yaw), 롤(Roll), 피치(Pitch)로 구분하고 각을 지정한다.

회전	방향	축
요(Yaw)	위	y
롤(Roll)	앞	z
피치(Pitch)	오른쪽	x

오일러 각은 표준기저벡터를 중심으로 진행되는 세 번의 연속적인 회전을 의미한다. 예를 들어, x축 회전은 yz평면의 회전을 의미하는데, 이 경우 $x$값은 변하지 않는다.

$$ R_x = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta \\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} $$

 

그렇다면 회전 행렬 $R_x$는 위와 같이 설계할 수 있으니, 나머지 회전 행렬도 아래와 같이 설계된다.

$$ R_y = \begin{bmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&1&0 \\ -\sin\theta&0&\cos\theta \end{bmatrix} $$

$$ R_z = \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0 \\0&0&1\end{bmatrix} $$

[회전행렬의 설계]

 

$R_y$회전행렬은 좌측 하단의 $\sin$함수가 음의 부호를 가진다. 3차원 공간에서는 x→y→z→x→y의 순서로 3개의 축이 순한되기 때문에 $y$축에 직교하는 평면은 $zx$평면이다.

 

1. 회전행렬 유도

각 기저의 회전행렬을 구했으니, 순서대로 적용하여 최종 회전행렬을 만들어야 한다.

$$ R = R_{yaw}\cdot R_{pitch}\cdot R_{roll} $$

세 번의 연속적인 회전으로 구성된 오일러 각 회전방법은 6가지 경우가 발생하는데, 여기서는 z→x→y(롤, 피치, 요 순서)로 회전 행렬을 구현한다.

 

요, 피치, 롤 각의 값을 각각 $\alpha, \beta, \gamma$라 한다면, 오일러 각에 대응되는 회전행렬은 아래와 같이 계산된다.

$$ R_{\alpha} \cdot R_{\beta} \cdot R{_\gamma} = $$

\begin{bmatrix}\cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\0 & 1 & 0 \\-\sin\alpha & 0 & \cos\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos\beta & -\sin\beta \\0 & \sin\beta & \cos\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\\sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}

 

$$ =\begin{bmatrix}\cos\alpha\cos\gamma + \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma + \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma & \sin\alpha\cos\beta \\\cos\beta\sin\gamma & \cos\beta\cos\gamma & -\sin\beta \\-\sin\alpha\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma & \sin\alpha\sin\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma & \cos\alpha\cos\beta\end{bmatrix} $$

[오일러 각의 회전 행렬]

이렇게 계산된 회전행렬의 열벡터는 표준기저벡터가 회전 변환된 “로컬 축”을 의미한다. 오일러 각으로 변환된 로컬축은 아래와 같다.

 

$$ x_{\text{local}} = (\cos\alpha \cos\gamma + \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma,\ \cos\beta \sin\gamma,\ -\sin\alpha \cos\gamma + \cos\alpha \sin\beta \sin\gamma)\\ y_{\text{local}} = (-\cos\alpha \sin\gamma + \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma,\ \cos\beta \cos\gamma,\ \sin\alpha \sin\gamma + \cos\alpha \sin\beta \cos\gamma)\\ z_{\text{local}} = (\sin\alpha \cos\beta,\ -\sin\beta,\ \cos\alpha \cos\beta)\\ $$

[오일러 각으로 변환된 로컬 축]

 

위 계산식으로 얻어낸 로컬 축 벡터를 각각 $\vec x = (x_x, x_y,x_z), \ \vec y = (y_x, y_y,y_z) ,\ \vec z = (z_x, z_y,z_z)$로 지정하고, 이를 열벡터로 꽂아 넣어 만들어지는 3차원 공간의 회전행렬 $R$은 아래와 같다.

 

$$ R =\begin{bmatrix}x_x & y_x & z_x & 0 \\x_y & y_y & z_y & 0 \\x_z & y_z & z_z & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

 

2. 3차원 모델링 행렬

$$ M = T \cdot R \cdot S =\begin{bmatrix}x_x s_x & y_x s_y & z_x s_z & t_x \\x_y s_x & y_y s_y & z_y s_z & t_y \\x_z s_x & y_z s_y & z_z s_z & t_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

앞서 만든 3차원 행렬 3개를 $TRS$연산 순서에 따라 곱해 만든 모델링 행렬 $M$은 위와 같이 계산된다.

 

■ 카메라 공간

2차원 공간에서의 카메라는 이동 기능만 알아봤지만, 3차원 공간에서는 회전 기능까지 추가로 알아야 한다.

[3차원 카메라 공간]

위와 같은 상황에서 카메라의 축으로 최종 화면을 생성한다고 했을 때, 우리가 보편적으로 인지하는 2차원 데카르트 좌표계와는 다르다.

[뷰 공간]

따라서 위와 같이 뷰 공간을 $180^{\circ}$회전시키면 z 축은 카메라의 뒤를 항햐고, 뷰 공간에서 x축과 z축은 월드 공간의 x축과 z축의 반대 방향을 가지게 된다.

 

카메라는 크기 개념이 없기 때문에 회전과 이동 변환으로만 구성된다. 카메라의 위치값을 $t = (t_x, t_y, t_z)$로 지정하고, 로컬 축을 $x = (x_x, x_y,x_z), \ y = (y_x, y_y,y_z) ,\ z = (z_x, z_y,z_z)$로 지정하면,

$$ T =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & t_x \\0 & 1 & 0 & t_y \\0 & 0 & 1 & t_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\\ R =\begin{bmatrix}x_x & y_x & z_x & 0 \\x_y & y_y & z_y & 0 \\x_z & y_z & z_z & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

와 같이 이동 행렬과 회전행렬을 만들 수 있다.

 

이제 뷰 행렬을 만들기 위해 이동 행렬의 역행렬 $T^{-1}$을 계산하면 모든 물체는 카메라를 중심으로 재배치된다.

$$ T^{-1} =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & -t_x \\0 & 1 & 0 & -t_y \\0 & 0 & 1 & -t_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

[이동 변환행렬의 역행렬]

 

회전 변환 역시 이동 변환과 동일하게 역행렬을 적용시킨다. 회전행렬은 “직교행렬”이므로, 회전 행렬의 역행렬은 전치 행렬로 구할 수 있다.

$$ R^{-1} =\begin{bmatrix}x_x & x_y & x_z & 0 \\y_x & y_y & y_z & 0 \\z_x & z_y & z_z & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

[회전 변환행렬의 역행렬]

 

최종적으로 모델링 행렬을 구하기 위하기 위해선 모든 좌표를 카메라 중심으로 변환한 뒤, 회전의 역행렬을 적용하면 된다. (크기 변환 제외)

$$ M^{-1} = (T\cdot R)^{-1} = R^{-1} \cdot T^{-1} $$

$$ R^{-1} \cdot T^{-1} =\begin{bmatrix}x_x & x_y & x_z & -x \cdot t \\y_x & y_y & y_z & -y \cdot t \\z_x & z_y & z_z & -z \cdot t \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

 

두 행렬을 곱하고 마지막 4열을 내적을 사용해 정리하면 위와 같이 계산된다.

 

마지막으로 최종 뷰 좌표계는 $y$축으로 $180^{\circ}$회전한 구조를 가져야 하므로, $x$축 기저와 $z$축 기저를 반전시킨 최종 뷰 행렬은,

$$ V = R^{-1} \cdot T^{-1} =\begin{bmatrix}-x_x & -x_y & -x_z & x \cdot t \\y_x & y_y & y_z & -y \cdot t \\-z_x & -z_y & -z_z & z \cdot t \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} $$

[뷰 행렬(View Matrix)]

 

위와 같이 완성된다. 따라서 뷰 좌표계에서 카메라 정면에 위치한 모든 물체의 $z$값은 음수가 된다.